「推計学のすすめ」「経済数学の直観的方法～確率統計編」の感想

『推計学のすすめ』と『経済数学の直観的方法』の確率統計編がとても素晴らしくて、すごくはまった。
以下、ロジカルでないラフなメモ書き。
間違っていたら後で直す。

【参考】佐藤信、1968、『推計学のすすめ』 - しょうもないことかきました

直観でわかる統計学 - 講義のページにようこそ

『経済数学の直観的方法　確率・統計編』（その1）　長沼伸一郎著 - ケスケラの読書と旅の日記

『経済数学の直観的方法　確率・統計編』（その２）　長沼伸一郎著 - ケスケラの読書と旅の日記

Amazon.co.jp： 経済数学の直観的方法 確率・統計編 (ブルーバックス)の Nogisuさんのレビュー

【1】統計的仮説検定は正直わかりにくい。
なぜ、わざわざ、主張したい仮説を否定した仮説を立てた後、統計処理を行って否定した仮説を棄却して、主張したい仮説が正しい、というロジックを使うのか。

その理由は、統計的仮説検定は「確率的背理法」の考え方に基づいているから。
つまり、仮で立てた仮説が5％未満でしか確率的に起こり得ない、ということは、ほとんど起こらないだろうから、仮で立てた仮説は成立せず、元々の仮説が正しい、というロジックの流れ。
すなわち、完全な背理法ではなく、95％の確率の正しさで背理法を使った考え方、と思った方がいい。

『推計学のすすめ』には、この考え方による統計的仮説検定の事例をたくさんあげて、いろんな統計分布を使った話が載せられていて、とても分かりやすい。

正規分布、ｔ分布、F分布、χ＾2分布などをどんな場面で使って、どんな意図で用いるのか、という事例が分かりやすい。
上記Blogの感想に全く同意だが、1960年代に書かれた本なので、その事例に出てくる現象が時代的に古いように感じるのもすごく良い。

(引用開始)
この本はすごい。
1968年に出てるというのがもっとすごい。
筆者の佐藤さん、国税庁醸造試験所に長年勤めていたというのも、ギネスで働きながらスチューデントの筆名で論文出してたゴセットと似ていてかっこよい。
（中略）
推測統計の発想の根本を、懇切丁寧な解説と、豊富な例示とで示してくれるとてもありがたい本。
（中略）
t検定とかF検定とかχ2検定とか、Z標準化とか、なんとなく知ったかぶりでスルーしたけど、結局何なの？どれをいつ使うの？おいしいの？などの疑問がこの本でたいてい氷解する。
推測統計やるなら絶対にまずはじめの一冊。そのあと小難しい本に入っても、混乱したらこの本に戻るといいと思う。とにかく手元に1冊あるとよい。
さすがに60年代の本だけあって、例や言葉遣いが古いがそれがなおさらよい。
(引用終了)

【2】一般に、確率統計はすごく分かりにくい。
サイコロやコインの確率が、なぜそんなに奥深いのか？

【2-1】統計学を生み出したガウスの本来の思想は、確率論ではなく、誤差論だった。
「バラつき＝トレンド＋ボラリティ」という考え方があり、ボラリティは正規分布の形になる。

では、どうして現実の物事は正規分布に従うのか？
「経済数学の直観的方法～確率統計編」によれば、正規分布のイメージはパチンコと同じ。
つまり、パチンコに無数の球を落とすと、パチンコ台の下に積もった球は正規分布の形をなすイメージ。
これがボラティリティに相当する。

しかし、この正規分布の曲線が「exp^(x^(-2))」であるために、その微分・積分が高校数学では扱えないので、多くの人がトラウマになっている、ということらしい。
つまり、パチンコ台に有限個の球を落とすと2項分布になるが、その極限が正規分布の曲線になるという計算は、高校生では解けない。
すなわち、確率分布の計算が複雑怪奇になっていて、とても分かりにくいのは、そこに理由があるのかもしれない。

【2-2】しかし、すべての物事が正規分布に従うという理論はやはり腑に落ちにくい。
たとえば、人の学力は正規分布に落ち着く、というのは本当に正しいのか？
真面目にコツコツ勉強しても間違って暗記した人、要領よく勉強して高得点な人、そんないろんな選択を正規分布は飲み込んでいるのか？

「経済数学の直観的方法～確率統計編」によれば、その答えは、中心極限定理が解決してくれる。
実際は、色んなパターンの確率分布の曲線が発生するが、それら様々な確率分布を全て合成して極限に持っていくと、中心極限定理によって、その結果が正規分布になる、と。
つまり、中心極限定理は、二項分布の極限が正規分布になる、というだけでなく、様々な確率分布が合成されて極限に持っていくと正規分布になる、と主張している。（言いすぎかも）

中心極限定理のメリットは、心理学・経済学・社会学のような分野に適用して、それら予測に使えるからだ。
たとえば、株式市場では、政治状況や人々の心理状況などのパラメータに起因するたくさんの確率分布があるが、全て合成して極限に持っていくと、正規分布に落ち着くので、逆に扱いやすくなる。
つまり、株式市場のパラメータがたくさんあったとしても、逆に全ての確率分布を合成するほど、正規分布に近づくので、正規分布の特徴さえ分かれば、株価を予測できるようになる。

【2-3】株式市場への貢献としては、オプション価格の計算に使われたブラック・ショールズ理論がある。
このブラック・ショールズ方程式はとても難しく、経済学部の学生もつまずくものらしい。

ブラック・ショールズ方程式の背後には、ウィーナー過程という考え方がある。
株価のバラつきは理論物理のブラウン運動に似ている。
ブラウン運動では、時間が経つとボラティリティが増大する。
そのボラティリティは時間の平方根に比例する、つまり、「ボラティリティは√ｔに比例して拡大する」という法則があり、これがウィーナー過程と呼ばれる。

ウィーナー過程は正直分かりにくいが、ブラウン運動でボラティリティが増大する原因は、時間というよりもジグザグ回数が増えることと同じ。
この発想を株式市場に生かすと、株価のボラティリティ（バラつき）は株取引回数が時間と共に増えることであり、それが時間の平方根に比例する。

つまり、ボラティリティが大きいほど、株価は高くなる確率になるので、その時に売れば儲かる。
金利差や価格差を利用して売買して利鞘を稼ぐ裁定取引、いわゆるサヤ取りがこれに相当する。
また、株や国債は長期で保持した方が儲かる、という理由も、ここにあるのかもしれない。

【3】上記のAmazon感想にこんな感想があって、すごく同意した。

(引用開始)
私はいわゆる理系出身で、工業用のセンサ開発に関わっている。
私の働く業界では、本書でいう「ボラティリティ」を最小に抑え込み、「トレンド」を除去することで、品質を一定に管理することに腐心している。
このため、ボラティリティから何等かの「益」を得るという発想を持っていない。
この発想そのものが目から鱗の驚きであった。
(引用終了)

【3-1】製造業の品質管理では、完成品のバラつきを一定の範囲内に閉じ込めるように、厳しくチェックして出荷する。
つまり、たとえば、あるボトルネック工程で部品の歩溜まりが低い、と言った問題点は改善策を用いて解決して、「トレンド」となるバラつきを取り除く。
また、たとえば、全数検査でなく一部しか検査できないために観測できない誤差といった、「ボラリティリティ」のバラつきは最小限に押さえ込む。
たぶん、管理図の手法を使っているのだろう。
それによって、一般消費者は、品質が安定した大量製品を安価に買うことができる。

【3-2】一方、株売買、原油の先物取引のような金融取引では、ハイリスク・ハイリターンなので、ボラティリティが大きいほど、儲けが大きくなる。
なぜなら、ファイナンスの世界では、リターン＝期待値、リスク＝バラつき（偏差）という関係があるからだ。
つまり、ハイリスクで成功すればハイリターンが得られる。

昨今なら、トランプ現象のおかげで、株売買で儲けた人もいるのではないか。
つまり、「ボラティリティから利益を得る」という発想があるのだ。

ブラック・ショールズ方程式では、金融商品のボラティリティを数学的に求めて、金融商品のオプション価格としてあらかじめ算出することに成功した。
そのおかげで、金融取引市場が成立したわけだ。
その背景には、ウィーナー過程の考え方、つまり、「ボラティリティが√ｔに比例して拡大する」という考え方がある。

【3-3】この辺りの話はイマイチ分かりにくいが、以前、簿記1級を受講していた時、先生からこんな話を聞いたことがある。
本来の株式市場では、100株1000万円のような株を買いたい場合は、普通は手持ちのお金がなければ買えない。
しかし、ノーベル経済学賞を取った偉い学者（ブラックさん？）のおかげで、株式市場に、ある一定の入場料を支払えば、「株を将来買う権利」「株を将来売る権利」という形で、株の売買に入場できるようになった、と。
つまり、株式市場で金融取引を行うための入場料が、ブラック・ショールズ方程式で求められるオプション価格なわけだ。

そのおかげで、株式市場にもっと大量の人が簡単に入場できるようになり、株の売買がより一層活発になる、というメリットが生まれる。
日本政府がNISAなどを導入して、株式市場を活発化させたい、という意図はそんな所にも関連しているのだろうと思う。
株価が上がれば、NISAなどに投資した人にもお金が行き渡り、日本人の収入向上に役立つから、という流れなのだろう。

最終的には、企業はランダムな世界でも物事の連動性に注目して適切に意思決定することにより、ボラリティリティから利益を得ることが可能という事実から、企業は恒常的に利益を上げ続けることができる、という流れ。
この発想の類推から、マクロ経済学における経済成長理論につながるのだろう。

【4】こういう確率統計の理論の本を色々漁ってみると、チケット駆動開発の時と同じような匂いを感じる時がある。

【4-1】たとえば、従来の統計学では、計算力不足のために、大量データがあっても簡単に計算することができなかった。
昔は、数学的理論で確からしさは保証されているのに、コンピューティングパワーが不足していたから、その理論を使った実地検証がしづらかったわけだ。

しかし、今は、強力なコンピューティングパワーが安価で誰でも手に入るようになったので、統計学の理論をバックにプログラミングを縦横無尽に使って、文系理系を問わず、従来の自然・工学分野だけでなく、心理・社会・経済のような分野に適用して、色んな知見が得られるようになってきた。
たとえば、「ワーク・ルールズ」の本のように、Googleが自社の人事施策に統計理論を使っているように。

つまり、自然科学や工学で使われている従来の理論に対し、その適用分野を心理・社会・経済へ変えることで、別の新たな知見を見出だせる。
たとえば、理論の使い道をちょっと変えるだけで「ボラティリティを押さえ込む」のではなく「ボラティリティから利益を引き出す」という発想が生まれるわけだ。

【4-2】最近の人工知能も、その流れに似ている。
深層学習の背景にあるパーセプトロン、ニューロン、確率降下法という考え方は既に1960年代頃から理論として構築されていた。
だが、当時はコンピューティングパワーが不足していて、そもそも意味ある計算を実現できなかった。
しかし、今は違う。

その気になれば、PythonやR、AIのOSSのフレームワークを使えば、プログラムでいくらでも計算して、応用できる。
つまり、昔の数学や物理の理論を知らなくても、プログラミングできるならば、実際にプログラムで計算実行させて、意味ある応用結果を導ける。
その計算の後に、そのプログラムの背後にある諸理論を勉強しなおせば、実際の具体例をたくさん知っているのだから、理解しやすくなるだろう。
抽象的な理論ばかり勉強しても、その理論を武器に実際に使えなければ無意味だから。

今の時代は、数学や物理の理論からトップダウン的に勉強するのではなく、まずはプログラムを書いて動かして、たくさんの具体例を経験した後で理論を勉強し直す、と言うボトムアップ的な勉強方法の方が向いている気がする。
そんな流れがあるから、日本の小学生もプログラミングに慣れましょう、という方向に傾いているのかもしれない。